Schulen und andere Ausbildungseinrichtungen sind aufgerufen, von den  im Text enthaltenen Formeln und Algorithmen bei der Unterrichtung in Sachen Amateurfunk regen Gebrauch zu machen. Die  vorgestellten Programme oder Programmteile können im Unterricht entweder direkt verwertet werden oder als Anregung für die Programmierung eigener Satellitenbahnberechnungsroutinen dienen.

Soweit nicht anders angegeben, sind alle Werte für Winkelfunktionen in Grad einzusetzen. Da die meisten Programmiersprachen nur in RADIAN rechnen, können die nachfolgenden Umwandlungen benutzt werden. Sie sind für PASCAL gedacht, sind aber  mit wenigen Änderungen an alle herkömmlichen Hochsprachen leicht anzupassen. 

Es wird zunächst die Konstante k bestimmt mit

Dann ergibt sich :

                    Formelausdruck            =        Programmierausdruck in Grad

Winkel sollten vor der Berechnung auf jeweils 360° reduziert werden. Beispiel:

Da die Keplerschen Gesetze, und die später durch Newton eingebrachten Erweiterungen, streng genommen nur für den ungestörten Umlauf eines Planeten um eine homogene Sonne gelten (Zweikörperproblem), dieser Fall aber weder in unserem Sonnensystem und schon gar nicht für Satelliten beim Umlauf um die Erde zutrifft, müssen die störenden Einflüsse auf die Bahn berücksichtigt werden. Da es kein geschlossenes mathematisches Modell zur Bahnberechnung eines Satelliten gibt, berechnet man zunächst die Bahn so, wie sie ungestört in einem Zweikörperverhältnis verlaufen würde und berücksichtigt dann anschließend die Bahnanomalien im Rahmen der sogenannten " Störungsrechnung ". Ich gehe bei der Vorstellung der bahnbestimmenden Parameter auf die wichtigsten Perturbationen ein. Die speziellen  Bahnstörungen bei Satelliten auf hohen Ellipsen (Typ PHASE3-D) werden hier abgehandelt.

Zur Berechnung einer Satellitenbahn benötigt man mehrere, voneinander unabhängige Bahnelemente, die sogenannten " Kepler-Elemente" . Zur Ermittlung dieser grundlegenden Bahnparameter werden Teile der Satellitenflugbahn mit einem Radargerät (NORAD) vermessen, der Rest der Elemente wird mit dem Computer hochgerechnet. Andere Methoden arbeiten mit Messungen der Dopplerfrequenzverschiebung.

Für die Bahnbestimmung sind sechs dieser Bahnelemente notwendig. Die "klassischen" sind:

Wobei die Epoche entweder als Zeit des Perigäumsdurchganges angegeben wird, als Wahre Anomalie oder, wie in den Kepler-Elementsätzen der NORAD, durch Angabe der mittleren Anomalie (M) und einer Uhrzeit. Die Große Halbachse wird in den bekannten Keplerdatensätzen  nicht angegeben, dafür kann sie aber aus der Mean Motion berechnet werden. Einzelheiten dazu sind den folgenden Erklärungen sowie der Abb. 2. zu entnehmen.

Die Inklination (i), der RA of Node (RAAN) und das Argument des Perigäums (Ap) gehören zu den Kepler-Elementen die als Winkel festgelegt werden.

Die Epoch time - in Verbindung mit einer mittleren Anomalie- Mean Motion ( als Ersatz für a) und die Exzentrizität sind numerische Werte.  Während die Inklination zu den mehr unproblematischen Bahnwinkeln gehört, müssen beim RAAN und Ap säkulare Änderungen der Satellitenbahn berücksichtigt werden. Vor den dazu fälligen detaillierten Erläuterungen, zunächst ein Ausflug in die Welt der Kepler-Datensätze.

Die nachfolgende Tabelle zeigt einen typischen Kepler-Elementsatz im standardisierten AMSAT-Format. Diese Keplerdatensätze werden so z.B. über Packet-Radio oder im Internet verbreitet. Die eigentlichen Kepler-Elemente sind im Beispiel mit 1-6 durchnummeriert. Wie man sieht, gehören Epoche und Mittlere Anomalie sowie Mean Motion und Decay rate zusammen. Die anderen Angaben sind für die Satellitenbahnberechnung ohne Belang. Die Keplerdatensätze gibt es außerdem auch noch im NORAD-2LINE Format, Einzelheiten sind hier und der Abb. 8.1  zu entnehmen.

Als Epoche wird in der Astronomie ein nach Datum und Uhrzeit festgelegter Zeitpunkt für eine bestimmte Stellung des Himmelskörpers auf seiner Bahn verstanden. Dazu wird z.B. Datum und Uhrzeit eines Perigäumsdurchgangs = Mittlere Anomalie 0° angegeben. Bei den Kepler-Elementsätzen der NORAD/NASA wird dieser Weg wie folgt beschritten:

Die angegebene Epoch time ist  der Zeitpunkt auf den sich die übrigen Kepler-Elemente beziehen, sie wird in den Keplerdatensätzen in Jahr, lfd. Tag des Jahres und in Uhrzeit (UTC) angegeben. In Verbindung mit der Mittleren Anomalie des Satzes lässt sich dann die Stellung des Satelliten zur angegebenen Epoche berechnen.

Das konkrete Problem besteht bei einer Satellitenbahnberechnung darin, die Kepler-Elemente des Datensatzes, ausgehend von der Epoch time, auf eine neue Epoche (Tag, Monat, Jahr, UTC) unter Berücksichtigung der säkularen Bahnstörungen umzurechnen, um anschließend die jeweils aktuellen Polarkoordinaten des Satelliten zu ermitteln. Dazu muss zwischen Epoch time des Keplersatzes und dem neuen Datum u.a. die Differenz in Tagen gebildet werden. Das bedingt u.a. die Umwandlung des gewünschten Datums in einen numerischen Wert, denn nur so kann man damit rechnen. In den  nachfolgenden Beispielprogrammen und im Abschnitt astronomischer Kalender gibt es  Algorithmen, die dies leisten. Die Bedeutung der Zeit für die Satellitenbahnberechnung ist im Abschnitt "Astronomie und Satelliten" erläutert.

Das Format der Epoch time enthält in den ersten beiden Stellen das Jahr, in den Stellen 3-5 den laufenden Tag des Jahres, die Nachkommastellen drücken den Bruchteil des Tages aus. Abb. 3. zeigt die Umsetzung der Epoch time unseres Keplerdatensatzes in Jahr, Monat, Tag und Uhrzeit (UTC).

Abbildung 4 zeigt zwei Möglichkeiten der Bestimmung der Inklination: einmal als Winkel von der Äquatorebene zur Bahnebene - oder als Winkel von der Erdachse zur Senkrechten auf der Bahnebene gemessen.

Die Fixierung der Satellitenbahn durch den RAAN ist leider nicht raumfest. Ursache ist die inhomogene Masseverteilung auf und in der Erdkugel. Im Bereich des Äquators hat die Erde einen Wulst, an den Polen ist sie abgeplattet, dadurch wirken auf einen Satelliten im Verlauf eines Orbits unterschiedliche Gravitationskräfte ein. Diese haben zur Folge, dass die Satellitenbahn präzessiert , d.h. der aufsteigende Knoten (EQX), verlagert sich bei jedem Umlauf des Satelliten um einen bestimmten Betrag und damit ändert sich der RAAN.

Mit dem Phänomen der Präzession haben die meisten von uns bereits im Kindesalter Berührung gehabt; zumindest diejenigen, die als Kind mit einem Kreisel gespielt haben. Berührt man einen laufenden Kreisel mit dem Finger, um ihn in eine bestimmte Richtung zu stoßen, dann stellt man fest, dass der Kreisel nicht in Stoßrichtung der angesetzten Kraft ausweicht, sondern in einem Winkel von 90°.

Sieht man den umlaufenden Satelliten als Kreisel an, auf den in Flugrichtung durch die unterschiedlichen Anziehungskräfte der Erde Beschleunigungs- und Verzögerungskräfte wirken, so versteht man, dass die gesamte Bahn des Satelliten dadurch in kleinen Schritten um die Erde herumruckt.

Der RAAN ist der Winkel des aufsteigenden Knotens der Bahnebene zum Frühlingspunkt des Himmelsgewölbes. Der aufsteigende Knoten ist der Schnittpunkt der Bahnebene mit der Äquatorebene bei SÜD-NORD Durchgang des Satelliten (aufsteigender Durchgang). Dieser Punkt wird auch als Äquatorcrossing oder EQX bezeichnet. Siehe dazu auch die Abbildungen 4-5. Der Frühlingspunkt (F) - Formelzeichen ^ - ist ein fiktiver, unendlich weit entfernter Fixstern in Verlängerung des Punktes an dem die Sonne auf ihrer Bahn - Ekliptik - zu Frühlingsanfang den Himmelsäquator überschreitet. Der F ist Anfangspunkt für die Zählung der astronomischen Koordinaten. Er ändert sich säkular durch die Präzession der Erdachse. Diese Änderung ist für genaue Berechnungen zu berücksichtigen. Ich werde  bei der Vorstellung der " Sternzeit " dazu auf Einzelheiten noch eingehen. Durch die ungleiche Verteilung der Erdmasse ändert sich der Ra of node pro Tag um einen bestimmten Wert der unbedingt in die Bahnberechnung mit einbezogen werden muss.

Die numerische Exzentrizität - Formelzeichen ex - der Satellitenbahnellipse, beschreibt deren Form. Sie ist das Verhältnis der Kleinen Halbachse zur Großen Halbachse (Siehe auch Abb. 6) und wird als numerischer Wert in den Keplerdatensätzen mitgeliefert.

Sie ergibt sich rechnerisch sonst aus

Formel 2:

Das Argument des Perigäums (Ap) - Formelzeichen w - ist der Winkel vom aufsteigenden Knoten zum Perigäum, in der Bahnebene des Satelliten gemessen (siehe Abb.7). Auch dieser Winkel ändert sich durch die Präzession um einen bestimmten Betrag pro Tag in Abhängigkeit von der Länge der großen Halbachse, Exzentrizität und Inklination.

Daraus folgt eine allmähliche Verlagerung von Perigäum und Apogäum, auch Apsidendrehung genannt. Nur bei einer bestimmten Inklination beträgt die Drehung = 0. Apogäum und Perigäum bleiben dann auf Dauer unverändert. Bei OSCAR 13 z.B. drehte sich die Bahn mit ca. 0.0678 Grad pro Tag und somit nahm der Winkel um ca. 24 Grad pro Jahr zu.

Die Berechnung in Grad /Tag ergibt sich aus:

Formel 4:

In unserem Datensatz bezeichnet die Mittlere Anomalie - Formelzeichen M - die Stellung des Satelliten auf seiner Bahn zum Zeitpunkt der Epoche. Gemessen wird in der Bahnebene vom Perigäum ausgehend. Null oder 360° bedeuten Perigäum, 180° bedeutet Apogäum.

Die aktuelle M errechnet sich durch Fortschreibung aus der M des Keplerdatensatzes auf einfache Weise

Formel 5:

Da die AMSAT den Orbit eines Satelliten nicht in 360°, sondern in computerfreundliche 256-er-Abschnitte teilt, erfolgt die Umrechnung in die AMSAT-MA-Werte mit

Zum Schluss sei noch die allgemeine Gleichung für die M angeführt

Formel 5.2:

dabei ist t die Zeit nach Perigäum in Minuten, U ist die anomalistische Umlaufzeit in Minuten auf die ich später noch zurückkomme. Umgekehrt ergibt sich die Zeit nach Perigäum bei bekannter M mit

Formel 5.3:

Anstelle des klassischen Keplerelements " Große Halbachse ", verwenden NORAD und damit auch die AMSAT, in ihren Keplerdatensätzen die Mean Motion.

Die MM ist die Anzahl der Umläufe des Satelliten an einem Tag. Im Beispiel unseres Keplerdatensatzes, umrundet OSCAR 10 die Erde täglich 2.09717309 mal. Teilt man die Minuten des Tages durch die MM, dann erhält man die Umlaufzeit in Minuten. Sie beträgt für den Keplerdatensatz von OSCAR 10 nach dieser Rechnung 699.4308 Min, unterliegt aber Änderungen.

Formel 6:

Das Ergebnis der Formel 6 ist die mittlere Umlaufzeit in Minuten, die Zeit also in welcher der Satellit 360 Grad auf seiner Bahn zurücklegt. Das sagt noch nichts darüber aus, welche Zeit vergeht, um von einem Perigäum zum folgenden Perigäum, oder von einem EQX zum nächsten zu gelangen.

Wir rechnen daher noch mit der Umlaufzeit von Perigäum zu Perigäum , auch anomalistische Periode genannt. Diese Umlaufzeit ist je nach Inklination und Halbachse entweder größer oder kleiner als die mittlere, da sich das Perigäum von Orbit zu Orbit um einen bestimmten Betrag verlagert.

Zusätzlich kennen wir noch die Knotenumlaufzeit , d.h. die Umlaufzeit von EQX zu EQX, die sowohl zur mittleren als auch zur anomalistischen U kleine Unterschiede aufweist, weil sich auch der aufsteigende Knoten säkular aber meist gegenläufig zum Perigäum verlagert.

Die Unterschiede in den Umlaufzeiten sind ebenfalls eine Folge der Präzession der Satellitenbahn, die ich in Zusammenhang mit den anderen Kepler-Elementen bereits erläutert habe.

Bei bekannter Halbachse a, kann man die MM auch berechnen aus :

Formel 7:

Als Fazit lässt sich feststellen, dass die MM kein unabhängiges Bahnelement ist. Sie ist über die Umlaufzeit - nach der Erweiterung des dritten Keplerschen Gesetzes durch NEWTON - abhängig von großer Halbachse sowie von der Gravitations- und Massekonstante nach der Beziehung :

Formel 7.1:

Formel 7.2:

Die Große Halbachse - Formelzeichen a - beschreibt die Größe der Bahnellipse. Sie muss, da sie im Keplerdatensatz der NORAD/AMSAT expressis verbis nicht enthalten ist, aus der Mean Motion berechnet werden. Für die Berechnung der a ergeben sich zahlreiche Variationen, die insgesamt keine großen Unterschiede im Ergebnis aufweisen :

Formel 8:

Formel 8.1:

oder aus der Gravitäts-/Massenkonstante (GM) der Erde berechnet

Formel 8.2:

Formel 8.3:

Die Decay rate (DCR ) ist kein eigenständiges Bahnelement wie Inklination, RAAN oder Epoche  sondern eine fiktive Konstante, die ausdrückt, um welchen Betrag sich die Mean Motion des Satelliten aufgrund des Luftwiderstandes der Restatmosphäre (Drag) oder anderer Einflüsse täglich ändert. Dabei überwiegen bei Satelliten bis zu einer Flughöhe von ca. 700 km die Einflüsse der Restatmosphäre, bei höheren Flughöhen repräsentiert die Decay rate überwiegend den Strahlungsdruck der Sonne.

Allgemeine Formel : MM(neu) = MM + 2*Decay-rate*T*T, wobei T wieder die Zeit in Tagen seit der Epoche - und MM die Mean Motion des Keplerdatensatzes sind.

Im 69-stelligen 2LINE-Datensatz ( s.Abb. 8.1) ist in diesem Zusammenhang die Zeile 1 in den Positionen 34-43 und 54-61 interessant, beim AMSAT-Datensatz ( s. Ziffer 1) nur die Zeile 11 "Decay rate". Die Bezeichnung Decay rate gibt es expressis verbis nur im AMSAT-Datensatz, bei NORAD-2LINE heißt der Wert in der Position 34-43 " First Time Derivation of Mean Motion ", er ist allerdings mit der Decay rate identisch. Die NORAD-2LINE-Daten werden selektiv in das AMSAT-Format konvertiert, dabei werden allerdings weitere Daten, die ebenfalls den Komplex "Drag" berühren, nicht berücksichtigt. So enthält 2LINE mindestens noch einen weiteren Drag-Wert ( Pos 54-61), auf den ich noch eingehe.

Die Decay rate ist eine Erfindung in Zusammenhang mit den 2LINE-Keplerdatensätzen der NORAD, sie gilt nur für ein bestimmtes NORAD-Rechenmodell, das für Amateurfunkzwecke zu guter Genauigkeit führt. Ein analoges Modell wird  bei meinem Satellitendienstprogramm verwendet. Für höhere Ansprüche - die weit über das hinausgehen was für Amateurfunkzwecke sinnvoll ist - hat NORAD zwei weitere mathematische Modelle entwickelt. Für diese Modelle wird ein - in den 2LINE-NORAD Keplerdatensätzen ebenfalls enthaltener Drag-Koeffizient - B* (BStar) genannt (Position 54-61) - verwendet. Dieser leitet sich aus einem spezifischen ballistischen Koeffizienten und dem Durchmesser des Satelliten im Verhältnis zur Masse ab. Die Verarbeitung dieses Koeffizienten in Satellitenprogrammen ist komplex und erfolgt nur in den Profi-Modellen ( SGP4, SDP4 sowie SGP8 und SDP8) der NORAD und bei meinem Programm MMTrack.

Einzelheiten dazu können im Spacetrackreport No. 3 der NORAD vom Dezember 1980 nachgelesen werden, darin sind auch FORTRAN-Routinen zur Berechnung enthalten.

Da die für die Berechnung erforderlichen Werte nur im Orignal Twoline-Datensatz enthalten sind, die meisten Amateurfunksatellitenprogramme aber auf der Basis der AMSAT-Datensätze rechnen, kann mit den üblichen Programmen die höhere Genauigkeit bei der Drag-Berechnung, also der B*, somit nicht genutzt werden. Ich werde mich nachfolgend daher auf die im AMSAT-Datensatz enthaltene Decay rate beschränken.

Die DCR wirkt sich hauptsächlich aus auf

Zur Einberechnung der DCR, sind einige Grundsätze zu beachten :

Die DCR ist die halbe Änderung der MM pro Tag ² und wird wesentlich durch den Abbremsungseffekt der Restatmosphäre hervorgerufen, der auf einen Satelliten allerdings als Beschleunigung wirkt, weil er auf seiner Bahn dadurch der Erde näher kommt. Durch die DCR wird hauptsächlich die Mittlere Anomalie, d.h. der Ort des Satelliten längs der Bahn, beeinflusst und im Nebeneffekt auch die Große und Kleine Halbachse (a, b), die Exzentrizität, das Argument des Perigäums (w ), sowie der RAAN (W). Der Einfluss ist um so größer, je niedriger der Satellit fliegt. Die Änderungen sind durch die Kleinheit der DCR gering, müssen bei genauen Berechnungen jedoch berücksichtigt werden. Bei niedrig fliegenden Satelliten gibt es sonst große Abweichungen. Bei der Berechnung einer Satellitenbahn darf man allerdings keine Wunder an Genauigkeit erwarten, die Decay rate ist ein relativer grober Koeffizient, der überdies nur für ein bestimmtes NORAD-Rechenmodell gilt.

Insgesamt gesehen, ist die regelmäßige Erneuerung der Keplerdaten für die im Satellitenfunk verwendeten Programme zwingend notwendig, denn bei kurzen Zeiträumen zwischen Datum des Keplerdatensatzes und Berechnungszeitpunkt wird der Einfluss der Decay rate zurückgedrängt, die Berechnung wird genauer.

Meine vergleichenden Berechnungen mit den genaueren NORAD-Berechnungsmodellen haben ergeben, dass die Unterschiede zwischen den Ergebnissen der Programme in den ersten 14 Tagen nach der Epoche des Keplerdatensatzes gering sind, dann aber erheblich ansteigen. Es zeigt sich dabei, dass die Decay rate ungenau - und der NORAD-Drag Parameter B* offensichtlich geeigneter ist Berechnungen über längere Zeiträume zu machen.

Dazu sei noch einmal der Hinweis auf die Rubrik "Kepler" in den PR-Mailboxen gegeben, hier werden  ca. wöchentlich einmal die aktuellen Keplerdaten - im AMSAT - und im 2LINE-Format - eingespielt. Die Daten können auch direkt aus dem Internet heruntergeladen werden : http//www.celestrak.com/norad , hier allerdings nur im 2LINE-Format .  

Die Umlauf-Nr des Keplerdatensatzes ist kein für die Bahnbestimmung notwendiges "Kepler-Element", sondern lediglich die Anzahl der Umläufe des Satelliten um die Erde seit dem Start. Die Umläufe werden ausgehend von der mittleren Umlaufzeit bestimmt. Man berechnet die aktuelle Epoch rev zweckmäßig über die MM mit

Formel 9.12: UmlaufNr = Epoch rev + Int (MM*T+1)

 

wobei T wieder die seit der Epoch time verflossene Anzahl Tage ist. "Int" ist der ganzzahlige Anteil des Ausdrucks und sowohl von BASIC als auch von PASCAL her bekannt. In der Regel ist die Epoch rev nur " nice to know ", sie hat keinen Wert für die Bestimmung der Bahnparameter eines Satelliten, sei aber der Vollständigkeit halber mit angegeben. Maßgeblich für die Zählung der Epoch rev nach NORAD-Standard sind die aufsteigenden Knoten und nicht die Perigäumsdurchgänge. Dadurch ergeben sich immer wieder Unterschiede zu AMSAT-Datensätzen, die aber mathematisch keine Bedeutung haben wenn nicht (warum eigentlich) ein Programm mit der Umlaufnummer Rechenoperationen steuert.

Wird hier fortgesetzt !!